已知 $\left|\overrightarrow{OA}\right|=1$，$\angle{AOB}=\dfrac{3\pi}{4}$，点 $C$ 在 $\angle{AOB}$ 内，且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$，$\left|\overrightarrow{OC}\right|=2\sqrt 2$，若 $(m+1)\overrightarrow{OA}+3m\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，则实数 $m=$ ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$2\sqrt 2-1$
【解析】
设 $\left|\overrightarrow{OB}\right|=n$，根据题意，有\[\begin{cases} (m+1)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}+3m\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA},\\
(m+1)^2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}+6m(m+1)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+9m^2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OC}\end{cases}\]于是\[\begin{cases} m+1+3m\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}2n\right)=0,\\
(m+1)^2+6m(m+1)\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}2n\right)+9m^2n^2=8,\end{cases}\]因此\[(m+1)^2-2(m+1)^2+9\left(\dfrac{m+1}{3\cdot \dfrac{\sqrt 2}2}\right)^2=8,\]进而\[(m+1)^2=8,\]又点 $C$ 在 $\angle AOB$ 内，因此 $m+1,3m>0$，进而\[m=2\sqrt 2-1.\]
(m+1)^2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}+6m(m+1)\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+9m^2\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OC}\end{cases}\]于是\[\begin{cases} m+1+3m\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}2n\right)=0,\\
(m+1)^2+6m(m+1)\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}2n\right)+9m^2n^2=8,\end{cases}\]因此\[(m+1)^2-2(m+1)^2+9\left(\dfrac{m+1}{3\cdot \dfrac{\sqrt 2}2}\right)^2=8,\]进而\[(m+1)^2=8,\]又点 $C$ 在 $\angle AOB$ 内，因此 $m+1,3m>0$，进而\[m=2\sqrt 2-1.\]
题目
答案
解析
备注
