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若一项数为偶数 $2m$ 的等比数列的中间两项正好是方程 ${x^2} + px + q = 0$ 的两个根，则此数列各项的积是 \((\qquad)\)
A: ${p^m}$
B: ${p^{2m}}$
C: ${q^m}$
D: ${q^{2m}}$
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学保送生测试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    数列
    >
    数列的性质
  • 知识点
    >
    函数
    >
    根与系数的关系
    >
    二次方程的韦达定理
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的对称互补性
【答案】
C
【解析】
由题意得$${a_m}{a_{m + 1}} = q,$$则$${a_1}{a_{2m}} = {a_2}{a_{2m - 1}} = \cdot \cdot \cdot = {a_m}{a_{m + 1}}.$$所以$${a_1}{a_2}{a_3} \cdot \cdot \cdot {a_{2m}} = {\left( {{a_m}{a_{m + 1}}} \right)^m} = {q^m}.$$
题目 答案 解析 备注
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