在正四面体 $A-BCD$ 中，棱长为 $2$，点 $P$ 是空间的动点且满足 $\left|\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|=2$，则 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[0,4]$
【解析】
根据题意，设 $BC$ 的中点为 $M$ 则 $|PM|=1$，因此点 $P$ 在以 $M$ 为球心，$1$ 为半径的球面上运动．于是\[\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}\right)\cdot \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{AD},\]其中\[\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AD}=\dfrac 12 AD^2=2,\]而 $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{AD}$ 的取值范围是 $[-2,2]$，因此所求的取值范围是 $[0,4]$．
题目
答案
解析
备注
