已知 $f(x) = m \cdot 2^x +x^2 +nx $，若 $\left\{x\left | f(x) = 0 \right. \right\}= \left\{x\left | f(f(x)) =0 \right. \right\} \ne \varnothing $，则 $m + n$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$[0,4)$
【解析】
根据题意，方程 $f(x)=0$ 的解必然是方程 $f(f(x))=0$ 的解，于是 $f(0)=0$，从而 $m=0$．此时方程 $f(x)=0$ 的两个实根为 $0$ 和 $-n$，于是\[f(f(x))=0\]等价于\[\left(f(x)=0\right)\lor\left(f(x)=-n\right),\]因此方程 $f(x)=-n$ 无解或者与 $f(x)=0$ 同解，解得 $n$ 的取值范围是 $[0,4)$，从而 $m+n$ 的取值范围是 $[0,4)$．
题目
答案
解析
备注
