如果 $\sin a\cos b=\dfrac 12$，则 $\cos a\sin b$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$
【解析】
由题意有\[\begin{split}&\cos a\sin b+\dfrac 12=\sin(a+b),\\ &\cos a\sin b-\dfrac 12=\sin(b-a).\end{split}\]所以$$-\dfrac 12 \leqslant \cos a\sin b\leqslant \dfrac 12,$$当 $a+b=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb Z$ 时，$\cos a\sin b=\dfrac 12$；
当 $b-a=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in \mathbb Z$ 时，$\cos a\sin b=-\dfrac 12$．
因此所求代数式的取值范围是 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$．
当 $b-a=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in \mathbb Z$ 时，$\cos a\sin b=-\dfrac 12$．
因此所求代数式的取值范围是 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]$．
题目
答案
解析
备注
