以下是四个关于数列的命题，其中正确的是 （填序号）．
① 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列；
② 若数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，则数列 $\{a_n+a_{n+1}\}$ 也是等比数列；
③ 若数列 $\{a_n\}$ 的递推公式是 $a_{n+1}=aa_n$，则数列 $\{a_n\}$ 是等比数列；
④ 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$S_n=q^n-1$，则数列 $\{a_n\}$ 是等差数列或等比数列
① 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列；
② 若数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，则数列 $\{a_n+a_{n+1}\}$ 也是等比数列；
③ 若数列 $\{a_n\}$ 的递推公式是 $a_{n+1}=aa_n$，则数列 $\{a_n\}$ 是等比数列；
④ 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$S_n=q^n-1$，则数列 $\{a_n\}$ 是等差数列或等比数列
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
①
【解析】
若 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$ 成等差数列，则$$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2},$$又 $a_n,a_{n+1},a_{n+2}$ 成等比数列，设公比为 $q$，则$$2a_nq=a_n+a_nq^2,$$所以 $q=1$．故数列 $\{a_n\}$ 为常数列．所以命题 ① 正确．
若 $a_n=(-1)^{n}$，则$$a_n+a_{n+1}=0,$$此时 $\{a_n+a_{n+1}\}$ 不是等比数列．② 不正确．
当 $a=0$ 时，$a_n=0$，$\{a_n\}$ 不是等比数列，③ 不正确；
当 $q=0$ 时，满足 $S_n=q^n-1$ 是数列为 $-1,0,0,0,\cdots$，既不是等差数列也不是等比数列，④ 不正确．
若 $a_n=(-1)^{n}$，则$$a_n+a_{n+1}=0,$$此时 $\{a_n+a_{n+1}\}$ 不是等比数列．② 不正确．
当 $a=0$ 时，$a_n=0$，$\{a_n\}$ 不是等比数列，③ 不正确；
当 $q=0$ 时，满足 $S_n=q^n-1$ 是数列为 $-1,0,0,0,\cdots$，既不是等差数列也不是等比数列，④ 不正确．
题目
答案
解析
备注
