函数 $f(x)=\sqrt{\dfrac{4x+3}{x+1}}+\sqrt{\dfrac{5x+6}{x+1}}$ 的定义域为 ，值域为 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,-\dfrac 65\right)\cup\left[-\dfrac 34,+\infty\right)$
【解析】
根据题意有$$\begin{cases}\dfrac{4x+3}{x+1}\geqslant 0,\\ \dfrac{5x+6}{x+1}\geqslant 0,\end{cases}$$解得$$x\leqslant -\dfrac 65\lor x\geqslant -\dfrac 34,$$即函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(-\infty,-\dfrac 65\right)\cup\left[-\dfrac 34,+\infty\right)$．
令 $t=\dfrac 1{x+1}$，则 $t\in[-5,0)\cup(0,4]$，
则函数化为$$y=\sqrt{4-t}+\sqrt{5+t},$$进而$$y^2=9+2\sqrt{-t^2-t+20},$$当 $t\in[-5,0)\cup(0,4]$ 时，$$9\leqslant y^2\leqslant 18,$$所以$$3\leqslant y\leqslant 3\sqrt 2,$$即原函数的值域为 $\left[3,3\sqrt 2\right]$．
令 $t=\dfrac 1{x+1}$，则 $t\in[-5,0)\cup(0,4]$，
则函数化为$$y=\sqrt{4-t}+\sqrt{5+t},$$进而$$y^2=9+2\sqrt{-t^2-t+20},$$当 $t\in[-5,0)\cup(0,4]$ 时，$$9\leqslant y^2\leqslant 18,$$所以$$3\leqslant y\leqslant 3\sqrt 2,$$即原函数的值域为 $\left[3,3\sqrt 2\right]$．
题目
答案
解析
备注
