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若 $A+B=\dfrac{2\pi}{3}$，则 ${\cos ^2}A + {\cos ^2}B$ 的最小值和最大值分别为 \((\qquad)\)
A: $1-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac32$
B: $\dfrac12,\dfrac32$
C: $1-\dfrac{\sqrt{3}}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D: $\dfrac12,1+\dfrac{\sqrt2}{2}$
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    函数与方程
    >
    函数最值
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    半角公式
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差化积与积化和差公式
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
B
【解析】
所求式子可进行如下变形\[\begin{split}{\cos ^2}A + {\cos ^2}B &= \dfrac{{1 + \cos 2A}}{2} + \dfrac{{1 + \cos 2B}}{2}\\& = 1 + \dfrac{{\cos 2A + \cos 2B}}{2}\\&= 1 + \cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right)\\&= 1 - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right),\end{split}\]其中 $A-B\in\mathbb R$，因此，$\cos^2A+\cos^2B$ 的最小值为 $\dfrac12$，最大值为 $\dfrac32$．
题目 答案 解析 备注
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