数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=2^n-1$，则 $a_1=$ ，$a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2=$ ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{4^n-1}{3}$
【解析】
根据题意可知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$，公比为 $2$ 的等比数列，故$$a_n=2^{n-1},$$所以$$a_n^2=4^{n-1}.$$则 $\{a_n^2\}$ 是首项为 $1$，公比为 $4$ 的等比数列，令 $S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2$，则$$S_n=\dfrac{1-4^n}{1-4}=\dfrac{4^n-1}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
