已知函数 $f(x)=\begin{cases}2-x,&x\geqslant 0\\x-2,&x<0\end{cases}$，使 $f(x)=0$ 的 $x$ 的值有 个；不等式 $x+(x+2)f(x+2)\leqslant 2$ 的解集是 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$1$；$\left[\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},+\infty\right)$
【解析】
当 $f(x)=0$ 时，$x=2$．
因为$$f(x+2)=\begin{cases}-x,&x\geqslant -2,\\ x,&x<-2.\end{cases}$$所以不等式 $x+(x+2)f(x+2)\leqslant 2$ 同解于$$\begin{cases}x\geqslant -2,\\ x+(x+2)\cdot(-x)\leqslant 2,\end{cases}\lor\begin{cases}x<-2,\\ x+(x+2)x\leqslant 2.\end{cases}$$解得$$x\geqslant \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},$$即原不等式的解集为 $\left[\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},+\infty\right)$．
因为$$f(x+2)=\begin{cases}-x,&x\geqslant -2,\\ x,&x<-2.\end{cases}$$所以不等式 $x+(x+2)f(x+2)\leqslant 2$ 同解于$$\begin{cases}x\geqslant -2,\\ x+(x+2)\cdot(-x)\leqslant 2,\end{cases}\lor\begin{cases}x<-2,\\ x+(x+2)x\leqslant 2.\end{cases}$$解得$$x\geqslant \dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},$$即原不等式的解集为 $\left[\dfrac{-3-\sqrt{17}}{2},+\infty\right)$．
题目
答案
解析
备注
