设 $f(x)=x^2+x+4$，集合 $M=\{y\mid y=f(n),1\leqslant n\leqslant 100,n\in\mathbb Z\}$，则 $M$ 中偶数有 个，$M$ 中 $3$ 的倍数有 个．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$100$；$34$
【解析】
根据题意有$$f(n)=n(n+1)+4,1\leqslant n\leqslant 100,n\in \mathbb Z.$$因为当 $n\in \mathbb Z$ 时，$n(n+1)$ 一定为偶数，故 $f(n)$ 均为偶数，所以 $M$ 中偶数有 $100$ 个．
当 $n=3k$ 时，$$y=3k(3k+1)+4,$$显然不是 $3$ 的倍数；
当 $n=3k+1$ 时，$$y=9k^2+9k+6,$$为 $3$ 的倍数，此时满足条件的有 $34$ 个数；
当 $n=3k+2$ 时，$$y=3(3k+2)(k+1)+4,$$不是 $3$ 的倍数．
故 $M$ 中 $3$ 的倍数的数有 $34$ 个．
当 $n=3k$ 时，$$y=3k(3k+1)+4,$$显然不是 $3$ 的倍数；
当 $n=3k+1$ 时，$$y=9k^2+9k+6,$$为 $3$ 的倍数，此时满足条件的有 $34$ 个数；
当 $n=3k+2$ 时，$$y=3(3k+2)(k+1)+4,$$不是 $3$ 的倍数．
故 $M$ 中 $3$ 的倍数的数有 $34$ 个．
题目
答案
解析
备注
