已知集合 $A=\{1,2,3,4\}$，$f$ 是集合 $A$ 到集合 $A$ 的映射，且满足 $f(1)=2$，$f(2)=3$，$f(3)=4$，$f(4)=1$．若 $f_1(x)=f(x)$，$f_n(x)=f_{n-1}(f(x))$，则 $f_{2010}(1)=$ ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
根据题意，当 $n\geqslant5$ 时，有$$f_n(1)=f_{n-1}(2)=f_{n-2}(3)=f_{n-3}(4)=f_{n-4}(1),$$因此周期为 $4$，故$$f_{2010}(1)=f_{502\cdot4+2}(1)=f_2(1)=3,$$因此 $f_{2010}(1)=3$．
题目
答案
解析
备注
