$AB$ 为过抛物线 ${y^2} = 4x$ 焦点 $F$ 的弦，$O$ 为坐标原点，且 $\angle OFA=135^\circ$，且 $E$ 为抛物线准线与 $x$ 轴的交点，则 $\angle AEB$ 的正切值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2011年清华大学等七校联考自主招生试题
【标注】
【答案】
A
【解析】
如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：
在直角梯形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=45^\circ$，$EF\parallel DA$，$EF=2$，$AF=AD$，$BF=BC$，求 $\tan\angle AEB$．
由图可知$$\tan \angle AEF = \tan \angle EAD = \dfrac{{DE}}{{AD}} = \dfrac{{GF}}{{AF}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},$$类似地有$$\tan\angle BEF=\tan\angle EBC=\dfrac{\sqrt2}{2} , \angle AEB=\angle AEF+\angle BEF=2\angle AEF,$$因此$$\tan \angle AEB = \tan 2\angle AEF = 2\sqrt 2.$$
在直角梯形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=45^\circ$，$EF\parallel DA$，$EF=2$，$AF=AD$，$BF=BC$，求 $\tan\angle AEB$．
由图可知$$\tan \angle AEF = \tan \angle EAD = \dfrac{{DE}}{{AD}} = \dfrac{{GF}}{{AF}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},$$类似地有$$\tan\angle BEF=\tan\angle EBC=\dfrac{\sqrt2}{2} , \angle AEB=\angle AEF+\angle BEF=2\angle AEF,$$因此$$\tan \angle AEB = \tan 2\angle AEF = 2\sqrt 2.$$
题目
答案
解析
备注
