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经过点 $M\left(-1,\dfrac12\right)$ 的圆 $P:x^2+2x+y^2=0$ 的最长弦和最短弦分别为 $AC$ 和 $BD$，则四边形 $ABCD$ 的面积等于 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    圆的垂径定理
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    面积计算
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的弦长与面积问题
【答案】
$\sqrt3$
【解析】
由题可知，$AC$ 为直径时是最长的弦，此时 $AC=2$，当点 $M$ 为弦 $BD$ 中点时，$BD$ 为最短弦，此时$$BD=2\cdot\sqrt{1^2-\left(\dfrac12\right)^2}=\sqrt3,$$因为 $AC\perp BD$，设 $ABCD$ 面积为 $S$，则\[S=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\sqrt3.\]
题目 答案 解析 备注
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