如图所示，以长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的顶点 $C$ 为顶点截得一个底面是正三角形的三棱锥 $C-EFG$，设棱锥底面 $EFG$ 与正方体对角线 $A_1C$ 的交点是 $M$．若 $CE:CB=1:3$，则 $CM:CA_1=$ ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac19$
【解析】
设正方体的棱长为 $3$，则有$$A_1C=3\sqrt3,$$设三棱锥 $C-EFG$ 的体积为 $V$，注意到 $A_1C\perp EFG$，则有$$CM=\dfrac{3V}{S_{\triangle EFG}}=\dfrac{1}{\sqrt3},$$因此，$CM:CA_1=\dfrac19$．
题目
答案
解析
备注
