已知向量 $\overrightarrow{x}$ 满足方程 $2\overrightarrow{x}^2+3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x}+1=0$，其中 $\overrightarrow{a}=\left(1,\sqrt2\right)$，则 $\left|\overrightarrow{x}\right|$ 的最大值和最小值之和为 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt3}{2}$
【解析】
根据题意，有$$2\cdot\left|\overrightarrow{x}\right|^2+1=-3\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x}\leqslant3\sqrt3\cdot\left|\overrightarrow{x}\right|,$$整理得$$2\cdot\left|\overrightarrow{x}\right|^2-3\sqrt3\cdot\left|\overrightarrow{x}\right|+1\leqslant0,$$因此 $\left|\overrightarrow{x}\right|$ 的最大值和最小值即为关于 $\left|\overrightarrow{x}\right|$ 的方程$$2\cdot\left|\overrightarrow{x}\right|^2-3\sqrt3\cdot\left|\overrightarrow{x}\right|+1=0,$$的两根，则 $\left|\overrightarrow{x}\right|$ 的最大值和最小值之和为 $\dfrac{3\sqrt3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
