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过定点 $P(1,-1)$ 的直线交抛物线 $y=x^2$ 于点 $A,B$，则 $AB$ 中点的轨迹方程是 ．
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线
    >
    直线的方程
    >
    直线的参数方程
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    轨迹问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    联立及韦达定理
【答案】
$y=2x^2-2x-1$，$x\in\left(-\infty,1-\sqrt2\right)\cup\left(1+\sqrt2,+\infty\right)$
【解析】
由题直线 $AB$ 的参数方程可设为$$\begin{cases}x=1+t,\\y=-1+kt,\end{cases}$$由直线 $AB$ 与 $y=x^2$ 有两个交点，则关于 $t$ 的方程$$-1+kt=(t+1)^2,$$有两个实数解，整理得 $t^2+(2-k)t+2=0$，则有$$\Delta=(2-k)^2-8>0,$$解得 $k>+2\sqrt2$ 或 $k<2-2\sqrt2$，进而有$$t_1+t_2=k-2,$$因此 $AB$ 的中点 $M$ 的坐标满足$$(x,y)=\left(\dfrac{k}{2},\dfrac{k^2}{2}-k-1\right),$$因此点 $M$ 的轨迹为 $y=2x^2-2x-1$，$x\in\left(-\infty,1-\sqrt2\right)\cup\left(1+\sqrt2,+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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