正项等比数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 中，${{a}_{1}}=\dfrac{1}{8}$，前 $m$ 项的乘积是 ${{8}^{m}}$，其中 $m$ 是正整数且为常数．若从前 $m$ 项中，抽出一项后，余下的 $m-1$ 项的乘积是 ${{\left( 4\sqrt{2} \right)}^{m-1}}$，则抽出的是第 项．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$13$
【解析】
根据题意，抽出的项为\[\dfrac{8^m}{\left(4\sqrt 2\right)^{m-1}}=\left(\sqrt 2\right)^{m+5},\]又 $a_1=\dfrac 18$，前 $m$ 项的乘积是 $8^m$，于是\[a_1\cdot a_m=64=\left(\sqrt 2\right)^{12},\]进而\[a_m=\left(\sqrt 2\right)^{18}.\]设抽出的项为第 $k$ 项，则\[m+5=\dfrac{m-k}{m-1}\cdot (-6)+\dfrac{k-1}{m-1}\cdot 18,\]即\[k=\dfrac{(m-1)(m+11)}{24}+1,\]由 $1\leqslant k\leqslant m$，解得\[2\leqslant m\leqslant 13,\]经验证可得 $(m,k)=(13,13)$ 是符合题意的唯一正整数解，因此所求为 $13$．
题目
答案
解析
备注
