若平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant3$，则 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2012年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
$-\dfrac98$
【解析】
由题可知 $\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\cdot\left(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\leqslant9$，即$$4\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqslant9,$$由均值不等式和向量的数量积公式，知$$4\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2\geqslant4\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\geqslant\left|4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right|,$$因此$$\left|4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right|-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqslant9,$$所以 $-8\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\leqslant9$，
故$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\geqslant-\dfrac98,$$当 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 反向，且 $2\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ 时，取得等号．
故$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\geqslant-\dfrac98,$$当 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 反向，且 $2\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b}$ 时，取得等号．
题目
答案
解析
备注
