若平面向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant3$，则 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2012年高考安徽卷（理）
【标注】
【答案】
$-\dfrac98$
【解析】
设 $2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$，如图，
题意即已知平面上任意一点 $O$，当 $|AB|\leqslant3$ 时，求 $\dfrac12\cdot\left(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\right)$ 的最小值．
根据极化恒等式，知$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\dfrac14\left[\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)^2-\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)^2\right]=|OC|^2-\dfrac14\cdot|AB|^2\geqslant-\dfrac94,$$其中，点 $C$ 为线段 $AB$ 中点．并且 $O$ 与 $C$ 重合，且 $|AB|=3$ 时，等号成立．
因此 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}= \dfrac12\cdot\left(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\right)$ 的最小值为 $-\dfrac98$．
题意即已知平面上任意一点 $O$，当 $|AB|\leqslant3$ 时，求 $\dfrac12\cdot\left(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\right)$ 的最小值．根据极化恒等式，知$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\dfrac14\left[\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)^2-\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)^2\right]=|OC|^2-\dfrac14\cdot|AB|^2\geqslant-\dfrac94,$$其中，点 $C$ 为线段 $AB$ 中点．并且 $O$ 与 $C$ 重合，且 $|AB|=3$ 时，等号成立．
因此 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}= \dfrac12\cdot\left(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\right)$ 的最小值为 $-\dfrac98$．
题目
答案
解析
备注
