给定 $k \in {{\mathbb {N}}^{\ast}}$，$D$ 是正整数集的子集，设函数 $f : D \to {{\mathbb {N}}^{\ast}}$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n$，$f\left(n\right) = n - k$．
$(1)$ 设 $k = 1$，则其中一个函数 $f$ 在 $n = 2$ 处的函数值为 ；
$(2)$ 设 $k = 4$，$D=\{1,2,3,4\}$，$2 \leqslant f\left( n \right) \leqslant 3$，则不同的函数 $f$ 的个数为 ．
$(1)$ 设 $k = 1$，则其中一个函数 $f$ 在 $n = 2$ 处的函数值为
$(2)$ 设 $k = 4$，$D=\{1,2,3,4\}$，$2 \leqslant f\left( n \right) \leqslant 3$，则不同的函数 $f$ 的个数为
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$1$；$16$
【解析】
$(1)$ 由题可知 $f\left( n \right) \in {{\mathbb {N}}^{\ast}}$，而 $k = 1$ 时，$n > 1$ 则\[f\left( n \right) = n - 1 \in {{\mathbb {N}}^{\ast}},\]故 $f(2)=1$．
$(2)$ 由题可知 $k = 4 , n > 4$，则\[f\left( n \right) = n - 4 \in {{\mathbb {N}}^{\ast}},\]而 $n \leqslant 4$ 时，\[2 \leqslant f\left( n \right) \leqslant 3,\]即 $f\left( n \right) \in \left\{ {2,3} \right\}$，故不同的函数 $f$ 的个数为 ${2^4} = 16$．
$(2)$ 由题可知 $k = 4 , n > 4$，则\[f\left( n \right) = n - 4 \in {{\mathbb {N}}^{\ast}},\]而 $n \leqslant 4$ 时，\[2 \leqslant f\left( n \right) \leqslant 3,\]即 $f\left( n \right) \in \left\{ {2,3} \right\}$，故不同的函数 $f$ 的个数为 ${2^4} = 16$．
题目
答案
解析
备注
