已知定义在正整数集上的函数 $f(n)$ 满足以下条件：
① $f(m+n)=f(m)+f(n)+mn$，其中 $m,n \in \mathbb N^{\ast}$；
② $f(3)=6$．
则 $f(2013)=$ ．
① $f(m+n)=f(m)+f(n)+mn$，其中 $m,n \in \mathbb N^{\ast}$；
② $f(3)=6$．
则 $f(2013)=$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2027091$
【解析】
取 $n=1$，得 $f(m+1)=f(m)+f(1)+m$．
取 $m=1$，得 $f(2)=2f(1)+1$．
取 $m=2$，得 $f(3)=f(2)+f(1)+2$，即 $f(1)+f(2)=4$．
解得 $f(1)=1$，$f(2)=3$．
从而 $f(m+1)=f(m)+m+1$．
用累加法可得$$f(m)=f(1)+2+3+\cdots+m=\dfrac {m(m+1)}{2},$$从而 $f(2013)=2027091$．
取 $m=1$，得 $f(2)=2f(1)+1$．
取 $m=2$，得 $f(3)=f(2)+f(1)+2$，即 $f(1)+f(2)=4$．
解得 $f(1)=1$，$f(2)=3$．
从而 $f(m+1)=f(m)+m+1$．
用累加法可得$$f(m)=f(1)+2+3+\cdots+m=\dfrac {m(m+1)}{2},$$从而 $f(2013)=2027091$．
题目
答案
解析
备注
