在数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 中，如果对任意的 $ n\in {\mathbb{N}}^{\ast} $，都有 $ \dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}-\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lambda $（$ \lambda $ 为常数），则称数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 为比等差数列，$\lambda $ 称为比公差．现给出以下命题：
① 若数列 $\left\{ {F_n}\right\} $ 满足 ${F_1} = 1$，$ {F_2} = 1 $，${F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}$ $\left(n \geqslant 3\right)$，则该数列不是比等差数列；
② 若数列 $ \left\{a_n\right\} $ 满足 ${a_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}$，则数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是比等差数列，且比公差 $\lambda = 0$；
③ 等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④ 若 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是等差数列，$\left\{ {b_n}\right\} $ 是等比数列，则数列 $\left\{ {a_n}{b_n}\right\} $ 是比等差数列．
其中所有真命题的序号是 ．
① 若数列 $\left\{ {F_n}\right\} $ 满足 ${F_1} = 1$，$ {F_2} = 1 $，${F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}$ $\left(n \geqslant 3\right)$，则该数列不是比等差数列；
② 若数列 $ \left\{a_n\right\} $ 满足 ${a_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}$，则数列 $ \left\{a_n\right\} $ 是比等差数列，且比公差 $\lambda = 0$；
③ 等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④ 若 $\left\{ {a_n}\right\} $ 是等差数列，$\left\{ {b_n}\right\} $ 是等比数列，则数列 $\left\{ {a_n}{b_n}\right\} $ 是比等差数列．
其中所有真命题的序号是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①②
【解析】
① 数列 $\{F_n\}$ 的前几项为 $1,1,2,3,5,8$，而 $\dfrac 85-\dfrac 53\ne \dfrac 53-\dfrac 32$，所以 ① 正确；
显然 ② 正确；
③ 非零常数列是等差数列，是比等差数列，③ 不正确；
④ 设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项分别为\[a_n=a_0+nd,b_n=b_0\cdot q^n,n\in\mathbb N^{\ast},\]则\[\begin{split}\dfrac{a_{n+2}b_{n+2}}{a_{n+1}b_{n+1}}-\dfrac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_nb_n}=&q\cdot \left[\dfrac{a_0+(n+2)d}{a_0+(n+1)d}-\dfrac{a_0+(n+1)d}{a_0+nd}\right]\\&=\dfrac{-d^2\cdot q}{\left[a_0+(n+1)d\right]\cdot \left(a_0+nd\right)},\end{split}\]因此数列 $\{a_nb_n\}$ 是比等差数列的充要条件是“$d=0$ 且 $a_1\ne 0$”．④ 不正确．
显然 ② 正确；
③ 非零常数列是等差数列，是比等差数列，③ 不正确；
④ 设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项分别为\[a_n=a_0+nd,b_n=b_0\cdot q^n,n\in\mathbb N^{\ast},\]则\[\begin{split}\dfrac{a_{n+2}b_{n+2}}{a_{n+1}b_{n+1}}-\dfrac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_nb_n}=&q\cdot \left[\dfrac{a_0+(n+2)d}{a_0+(n+1)d}-\dfrac{a_0+(n+1)d}{a_0+nd}\right]\\&=\dfrac{-d^2\cdot q}{\left[a_0+(n+1)d\right]\cdot \left(a_0+nd\right)},\end{split}\]因此数列 $\{a_nb_n\}$ 是比等差数列的充要条件是“$d=0$ 且 $a_1\ne 0$”．④ 不正确．
题目
答案
解析
备注
