已知实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=9$，$ab+bc+ca=24$，则 $b$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[1,5]$
【解析】
根据已知条件有$$a+c=9-b,$$于是$$\begin{split} 24&=b(a+c)+ac\\
&\leqslant b(a+c)+\dfrac14(a+c)^2\\
&=b(9-b)+\dfrac14(9-b)^2\\
&=-\dfrac34b^2+\dfrac92b+\dfrac{81}{4}.\end{split}$$解得 $b$ 的取值范围为 $[1,5]$．当 $a=c=4$ 时 $b$ 取得最小值 $1$，当 $a=c=2$ 时 $b$ 取得最大值 $5$．
&\leqslant b(a+c)+\dfrac14(a+c)^2\\
&=b(9-b)+\dfrac14(9-b)^2\\
&=-\dfrac34b^2+\dfrac92b+\dfrac{81}{4}.\end{split}$$解得 $b$ 的取值范围为 $[1,5]$．当 $a=c=4$ 时 $b$ 取得最小值 $1$，当 $a=c=2$ 时 $b$ 取得最大值 $5$．
题目
答案
解析
备注
