由于已知条件中的$$\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)\geqslant 1$$等价于$$\sqrt{y^2+1}+y\geqslant\dfrac1{\sqrt{x^2+1}-x}=\sqrt{x^2+1}+x,$$构造函数$$f(x)=\sqrt{x^2+1}+x,x\in \mathbb R,$$易知 $f(x)$ 为单调递增函数，故由$$f(y)\geqslant f(x)$$可知 $x\geqslant y$．于是原题中的可行域约束条件即化简为$$\begin{cases} 2x+y\leqslant 4,\\ x\geqslant 0,\\y\geqslant x,\end{cases}$$则目标函数$$x^2+y^2-6x$$表示可行域内点到点 $(3,0)$ 距离的平方．所以当 $x=y=\dfrac43$ 时，$x^2+y^2-6x$ 取得最小值 $-\dfrac{40}9$．