如图，$A$、$E$ 是半圆周上的两个三等分点，直径 $BC = 4$，$AD \perp BC$，垂足为 $D$，$BE$ 与 $AD$ 相交于点 $F$，则 $AF$ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2011年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
【解析】
由题可知，$\angle AOB =\angle AOE= 60^\circ $，$OA = OB =OE= 2$，得 $ \triangle ABO$ 和 $ \triangle AEO$ 为正三角形，则 $ AD=\sqrt 3$，$ AE=2$．
由 $ \triangle AEF\backsim \triangle BDF$，得 $\dfrac {AF}{FD} =\dfrac {AE}{BD} =2$．所以 $ \dfrac{AF}{\sqrt{3}-AF}=2 $，解得 $AF=\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$．
由 $ \triangle AEF\backsim \triangle BDF$，得 $\dfrac {AF}{FD} =\dfrac {AE}{BD} =2$．所以 $ \dfrac{AF}{\sqrt{3}-AF}=2 $，解得 $AF=\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$．
题目
答案
解析
备注
