在锐角三角形 $ABC$ 中，角 $A,B,C$ 对应的边分别为 $a,b,c$，向量 ${\bf a}=(\sin C,\tan A)$，${\bf b}=(\tan A,\sin A)$，且 ${\bf a}\cdot {\bf b}=\cos A+\cos C$，则 $\dfrac{b+c}a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(1,1+\sqrt 2\right)$
【解析】
根据题意，有\[\sin C\cdot \tan A+\tan A\cdot \sin A=\cos A+\cos C,\]于是\[\sin C\cdot \sin A+\sin^2A=\cos^2A+\cos A\cdot \cos C,\]即\[\cos (A+C)+\cos 2A=0,\]也即\[\cos 2A=\cos B,\]根据题意，有 $2A,B\in(0,\pi)$，而余弦函数在该区间上单调递减，因此 $2A=B$．于是三角形的三个内角分别为 $A,2A,\pi-3A$，其中 $A$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}4\right)$．
根据正弦定理，有\[\begin{split}\dfrac{b+c}a&=\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}\\
&=\dfrac{\sin 2A+\sin 3A}{\sin A}\\
&=\dfrac{2\sin A\cos A+3\sin A-4\sin^3A}{\sin A}\\
&=2\cos A+3-4\sin^2A\\
&=4\cos^2A+2\cos A-1,\end{split}\]因此 $\dfrac{b+c}a$ 的取值范围是 $\left(1,1+\sqrt 2\right)$．
根据正弦定理，有\[\begin{split}\dfrac{b+c}a&=\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}\\
&=\dfrac{\sin 2A+\sin 3A}{\sin A}\\
&=\dfrac{2\sin A\cos A+3\sin A-4\sin^3A}{\sin A}\\
&=2\cos A+3-4\sin^2A\\
&=4\cos^2A+2\cos A-1,\end{split}\]因此 $\dfrac{b+c}a$ 的取值范围是 $\left(1,1+\sqrt 2\right)$．
题目
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