等轴双曲线的中心 $O$ 在坐标原点，焦点在 $x$ 轴上，$F_1,F_2$ 分别为左右焦点，双曲线上有一点 $P$，$\angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{3}$，且 $OP=2$，则双曲线的标准方程为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^2-y^2=1$
【解析】
设双曲线为 $x^2-y^2=a^2$（$a>0$），圆 $O:x^2+y^2=4$，则由\[\begin{cases} x^2-y^2=a^2,\\ x^2+y^2=4,\end{cases}\]解得\[y^2=\dfrac{4-a^2}2,\]于是根据双曲线的焦点三角形面积公式，有\[a^2\cdot \cot\dfrac{\pi}6=\dfrac 12\cdot 2\sqrt 2a\cdot \sqrt{\dfrac{4-a^2}2},\]解得\[a=1.\]
题目
答案
解析
备注
