题目 四面体 $ABCD$ 的六条棱的棱长构成集合 $\{1,2\}$，则四面体 $ABCD$ 的体积为<nn> </nn>．（写出所有可能的取值） 答案 $\dfrac{\sqrt{11}}{6},\dfrac{\sqrt {11}}{12},\dfrac{\sqrt {14}}{12}$ 解析 注意到四面体 $ABCD$ 必然有一个面的三边边长分别为 $2,2,1$，于是在此基础上确定一个固定的底面，然后就顶点到底面三个顶点的距离展开讨论．如图，体积的所有可能取值为 $\dfrac{\sqrt{11}}{6},\dfrac{\sqrt {11}}{12},\dfrac{\sqrt {14}}{12}$．<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/e98a2dd52ae8c98e693fd0dadac9003d.png" class="img-responsive" /> 备注 如果能注意到顶点到边长为 $1$ 的一边的两端点的距离相等，讨论将更加简单．