如图，直角坐标系 $xOy $ 所在的平面为 $\alpha $，直角坐标系 $x'Oy'$（其中 $y'$ 轴与 $y $ 轴重合）所在的平面为 $\beta $，$\angle xOx'=45^\circ $．
$(1)$ 已知平面 $\beta $ 内有一点 $P'\left(2{\sqrt{2}} ,2\right)$，则点 $P'$ 在平面 $\alpha $ 内的射影 $P $ 的坐标为 ；
$(2)$ 已知平面 $\beta $ 内的曲线 $C' $ 的方程是 $\left(x'-{\sqrt{2}}\right)^2+2y'^2-2=0 $，则曲线 $C'$ 在平面 $\alpha $ 内的射影 $C $ 的方程是 ．
$(1)$ 已知平面 $\beta $ 内有一点 $P'\left(2{\sqrt{2}} ,2\right)$，则点 $P'$ 在平面 $\alpha $ 内的射影 $P $ 的坐标为
$(2)$ 已知平面 $\beta $ 内的曲线 $C' $ 的方程是 $\left(x'-{\sqrt{2}}\right)^2+2y'^2-2=0 $，则曲线 $C'$ 在平面 $\alpha $ 内的射影 $C $ 的方程是
【难度】
【出处】
2011年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
$(1)$ $(2,2)$；$(2)$ $(x-1)^2+y^2-1=0$
【解析】
由题意得两个坐标系的联系为$$\begin{cases}\sqrt 2x=x',\\ y=y'.\end{cases}$$$(1)$ $P'(2\sqrt 2,2)\to P(2,2)$；
$(2)$ 因为$$\begin{split}C':&(x'-\sqrt 2)^2+2y'^2-2=0,\\C:&(\sqrt 2x-\sqrt 2)^2+2y^2-2=0,\end{split}$$所以 $C$ 的方程为 $(x-1)^2+y^2-1=0$．
$(2)$ 因为$$\begin{split}C':&(x'-\sqrt 2)^2+2y'^2-2=0,\\C:&(\sqrt 2x-\sqrt 2)^2+2y^2-2=0,\end{split}$$所以 $C$ 的方程为 $(x-1)^2+y^2-1=0$．
题目
答案
解析
备注
