若 ${{\mathrm{i}}^2} = - 1$，则 $\cos 45^\circ + {\mathrm{i}}\cos 135^\circ + \cdots + {{\mathrm{i}}^n}\cos \left({45 + 90n} \right)^\circ + \cdots + {{\mathrm{i}}^{40}}\cos 3645^\circ = $ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2001年上海交通大学连读班测试
【标注】
【答案】
C
【解析】
原式中各项周期为 $4$，一个周期各项的和$$S = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{\mathrm{i}}} \right) + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}{\mathrm{i}}} \right) = \sqrt 2 \left( {1 - {\mathrm{i}}} \right).$$所以所求代数式为$$ 10\sqrt 2 \left( {1 - {\mathrm{i}}} \right) + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {21 - 20{\mathrm{i}}} \right).$$
题目
答案
解析
备注
