已知 $f(x)=(2a+1)\cdot {\rm e}^x-\left(a^2-1\right)\cdot {\rm e}^{-x}$．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 ；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[1,+\infty)$；$\left[-1,-\dfrac 12\right]$
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^{-x}\cdot\left[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1\right].\]情形一 $a< -1$．此时当 $x>\dfrac 12\ln\dfrac{a^2-1}{-2a-1}$ 时，有\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1<0,\]不符合题意．
情形二 $-1\leqslant a\leqslant -\dfrac 12$．此时\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1<0,\]不符合题意．
情形三 $-\dfrac 12<a<1$．此时当 $x<\dfrac 12\ln\dfrac{1-a^2}{2a+1}$ 时，有\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1<0,\]不符合题意．
情形四 $a\geqslant 1$．此时\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1>0,\]符合题意．
综上所述，若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-1,-\dfrac 12\right]$．
综上所述，若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-1,-\dfrac 12\right]$．
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