设\[\begin{aligned}a&=a(x)=1+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots,\\
b&=b(x)=\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^7}{7!}+\cdots,\\
c&=c(x)=\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^8}{8!}+\cdots,\end{aligned}\]则 $a^3+b^3+c^3-3abc=$ ．
b&=b(x)=\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^7}{7!}+\cdots,\\
c&=c(x)=\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^8}{8!}+\cdots,\end{aligned}\]则 $a^3+b^3+c^3-3abc=$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意，有\[a'(x)=c(x),b'(x)=a(x),c'(x)=b(x),\]令\[f(x)=a^3(x)+b^3(x)+c^3(x)-3a(x)b(x)c(x),\]则\[\begin{split}f'(x)&=3a^2(x)a'(x)+3b^2(x)b'(x)+3c^2(x)c'(x)-3\left[a'(x)b(x)c(x)+a(x)b'(x)c(x)+a(x)b(x)c'(x)\right]\\
&=3a^2(x)c(x)+3b^2(x)a(x)+3c^2(x)b(x)-3\left[b(x)c^2(x)+c(x)a^2(x)+a(x)b^2(x)\right]\\
&=0,\end{split}\]因此 $f(x)$ 是常数函数．令 $x=0$，可得 $(a,b,c)=(1,0,0)$，于是可得 $f(x)=1$．
&=3a^2(x)c(x)+3b^2(x)a(x)+3c^2(x)b(x)-3\left[b(x)c^2(x)+c(x)a^2(x)+a(x)b^2(x)\right]\\
&=0,\end{split}\]因此 $f(x)$ 是常数函数．令 $x=0$，可得 $(a,b,c)=(1,0,0)$，于是可得 $f(x)=1$．
题目
答案
解析
备注
