不妨设 $0<x\leqslant y\leqslant z<\dfrac{\pi}2$，显然 $z>\dfrac{\pi}4$．由\[\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z=1,\]可得\[\cos(x+y)\cdot\cos(x-y)+\cos^2z=0,\]于是 $x+y>\dfrac{\pi}2$，进而有\[\begin{split}3\cos\dfrac{2(x+y+z)}3&\leqslant 2\cos (x+y)+\cos 2z\\
&=2\left[\cos(x+y)+\cos^2z\right]-1\\
&=2\cos(x+y)\cdot [1-\cos(x-y)]-1\\
&\leqslant -1,\end{split}\]因此 $x+y+z\geqslant 3\arccos\dfrac{\sqrt 3}3,$ 等号当 $(x,y,z)=\left(\arccos\dfrac{\sqrt 3}3,\arccos\dfrac{\sqrt 3}3,\arccos\dfrac{\sqrt 3}3\right)$ 时取得．
另一方面，由 $\pi-x-y>x-y$，有\[\cos^2z=-\cos(x+y)\cdot \cos(x-y)> \cos^2(\pi-x-y),\]于是\[\cos z>\cos(\pi-x-y),\]进而\[x+y+z<\pi,\]当 $(x,y,z)\to \left(0,\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $x+y+z\to \pi$．
综上所述，$x+y+z$ 的取值范围是 $\left[3\arccos\dfrac{\sqrt 3}3,\pi\right)$．