已知 $\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{11}6$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\left(1-\cos\beta\right)\cdot \cos\alpha+\sin\beta\cdot\sin\alpha+\dfrac 32\cos\beta\\
&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\
&=\sqrt{2-2\cos\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\
&=2\sin\dfrac{\beta}2+\dfrac 32-3\sin^2\dfrac{\beta}2\\
&\leqslant \dfrac{-12\cdot \dfrac 32-2^2}{-12}=\dfrac{11}6,\end{split}\]等号当 $\sin\dfrac{\beta}2=\dfrac 13$，且\[\alpha=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\dfrac{\pi}2-\dfrac{\beta}2=\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 13\]时可以取到．因此所求的最大值为 $\dfrac{11}6$．
&\leqslant \sqrt{(1-\cos\beta)^2+\sin^2\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\
&=\sqrt{2-2\cos\beta}+\dfrac 32\cos\beta\\
&=2\sin\dfrac{\beta}2+\dfrac 32-3\sin^2\dfrac{\beta}2\\
&\leqslant \dfrac{-12\cdot \dfrac 32-2^2}{-12}=\dfrac{11}6,\end{split}\]等号当 $\sin\dfrac{\beta}2=\dfrac 13$，且\[\alpha=\dfrac{\pi}2-\arctan\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta}=\dfrac{\pi}2-\dfrac{\beta}2=\dfrac{\pi}2-\arcsin\dfrac 13\]时可以取到．因此所求的最大值为 $\dfrac{11}6$．
题目
答案
解析
备注
