已知二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足 $|f(0)|,|f(-1)|,|f(1)|$ 均不大于 $1$，则当 $x\in [-1,1]$ 时，$|f(x)|$ 的最大值 $M(a,b,c)$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 54$
【解析】
由于\[\begin{split}
f(-1)&=a-b+c,\\
f(0)&=c,\\
f(1)&=a+b+c
,\end{split}\]可得\[\begin{split}a&=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-f(0),\\
b&=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1),\\
c&=f(0)
,\end{split}\]因此\[\begin{split}|f(x)|&=\left|\left[\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-f(0)\right]\cdot x^2+\left[\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)\right]\cdot x+f(0)\right|\\
&=\left|f(1)\cdot \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+f(-1)\cdot \left(\dfrac 12x^2-\dfrac 12x\right)+f(0)\cdot \left(1-x^2\right)\right|,\end{split}\]考虑到对称性，不妨设 $x\in [0,1]$，于是\[\begin{split}|f(x)|&\leqslant |f(1)|\cdot \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+|f(-1)|\cdot \left(\dfrac 12x-\dfrac 12x^2\right)+|f(0)|\cdot \left(1-x^2\right)\\
&\leqslant \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+\left(\dfrac 12x-\dfrac 12x^2\right)+\left(1-x^2\right)\\
&=-x^2+x+1\\
&\leqslant \dfrac 54.\end{split}\]事实上，当 $(a,b,c)=\left(1,-1,-1\right)$ 时，有 $M(a,b,c)=\dfrac 54$，因此所求的最大值为 $\dfrac 54$，如图．
f(-1)&=a-b+c,\\
f(0)&=c,\\
f(1)&=a+b+c
,\end{split}\]可得\[\begin{split}a&=\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-f(0),\\
b&=\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1),\\
c&=f(0)
,\end{split}\]因此\[\begin{split}|f(x)|&=\left|\left[\dfrac 12f(1)+\dfrac 12f(-1)-f(0)\right]\cdot x^2+\left[\dfrac 12f(1)-\dfrac 12f(-1)\right]\cdot x+f(0)\right|\\
&=\left|f(1)\cdot \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+f(-1)\cdot \left(\dfrac 12x^2-\dfrac 12x\right)+f(0)\cdot \left(1-x^2\right)\right|,\end{split}\]考虑到对称性，不妨设 $x\in [0,1]$，于是\[\begin{split}|f(x)|&\leqslant |f(1)|\cdot \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+|f(-1)|\cdot \left(\dfrac 12x-\dfrac 12x^2\right)+|f(0)|\cdot \left(1-x^2\right)\\
&\leqslant \left(\dfrac 12x^2+\dfrac 12x\right)+\left(\dfrac 12x-\dfrac 12x^2\right)+\left(1-x^2\right)\\
&=-x^2+x+1\\
&\leqslant \dfrac 54.\end{split}\]事实上，当 $(a,b,c)=\left(1,-1,-1\right)$ 时，有 $M(a,b,c)=\dfrac 54$，因此所求的最大值为 $\dfrac 54$，如图．
题目
答案
解析
备注
