函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2\sqrt 3\cos 2x+2\cos x-4\sqrt 3\sin x,\]经过试探，可得 $x=\dfrac{\pi}6$ 是它的一个零点．此时得到极值 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=\dfrac{17}2$．接下来我们证明该值就是 $f(x)$ 的最大值．
考虑到取等条件是 $\sin x=\dfrac 12$，$\cos x=\dfrac{\sqrt 3}2$，于是\[\begin{split}f(x)&=2\sqrt 3\sin x\cos x+2\sin x+4\sqrt 3\cos x\\
&=3\sin^2x+\cos^2x-\left(\sqrt 3\sin x-\cos x\right)^2+2\sin x+4\sqrt 3\cos x\\
&=\dfrac{17}2-2\left(\sin x-\dfrac 12\right)^2-4\left(\cos x-\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2-\left(\sqrt 3\sin x-\cos x\right)^2\\
&\leqslant \dfrac{17}2,\end{split}\]等号当 $x=\dfrac{\pi}6$ 时可以取到．因此所求的最大值为 $\dfrac{17}2$．