根据题意，函数 $f(x)$ 在闭区间 $\left[\dfrac 13,1\right]$ 上的最大值 $t$ 小于最小值 $s$ 的两倍，即 $t<2s$．由于函数 $f(x)=x+\dfrac ax$ 在 $\left(0,\sqrt a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt a,+\infty\right)$ 上单调递增．因此按 $\sqrt a$ 与 $\dfrac 13,1$ 的大小关系讨论．
情形一当 $\sqrt a\leqslant \dfrac 13$ 时，有\[s=f\left(\dfrac 13\right)=3a+\dfrac 13,t=f(1)=a+1,\]由 $2s>t$ 解得\[\dfrac{1}{15}<a\leqslant \dfrac 19.\]情形二当 $\dfrac 13< \sqrt a<1$ 时，有\[s=f\left(\sqrt a\right)=2\sqrt a,\]此时\[4\sqrt a-(a+1)=\left(\sqrt a-a\right) +\left(3\sqrt a-1\right)>0,\]且\[4\sqrt a-\left(3a+\dfrac 13\right)=3\left(\sqrt a-a\right)+\left(\sqrt a-\dfrac 13\right)>0,\]于是必有 $2s>t$，符合题意．
情形三当 $\sqrt a\geqslant 1$ 时，有\[t=f\left(\dfrac 13\right)=3a+\dfrac 13,s=f(1)=a+1,\]由 $2s>t$ 解得\[1\leqslant a< \dfrac 53.\]综上所述，所求实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 1{15},\dfrac 53\right)$．