令 $x-1=\sqrt 2\tan \theta$，其中 $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，则\[y=\sqrt 2\tan\theta+1+\sqrt 2\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}=\sqrt 2\cdot \dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}+1=\tan\left(\dfrac{\theta}2+\dfrac{\pi}4\right)+1,\]进而可得所求值域为 $(1,+\infty)$．