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已知 $z \in {\mathbb{C}}$，若 $\left| z \right| - z = 2 - 4{\mathrm {i}}$，则 $\dfrac{1}{z}$ 的值是 \((\qquad)\)
A: $3 + 4{\mathrm {i}}$
B: $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}{\mathrm {i}}$
C: $\dfrac{3}{{15}} - \dfrac{4}{{15}}{\mathrm {i}}$
D: $\dfrac{3}{{25}} - \dfrac{4}{{25}}{\mathrm {i}}$
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
  • 数学竞赛
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【答案】
D
【解析】
由 $\left| z \right| = z + 2 - 4{\mathrm {i}}$，不妨设 $z = a + 4{\mathrm {i}}$，则$${a^2} + {4^2} = {\left( {a + 2} \right)^2},$$解得 $a = 3$．因此$$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{3 + 4{\mathrm {i}}}} = \dfrac{{3 - 4{\mathrm {i}}}}{{25}}.$$
题目 答案 解析 备注
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