过点 $A(-4,0)$ 向椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 引两条切线，切点分别为 $B,C$，若 $\triangle ABC$ 为正三角形，则当 $ab$ 最大时，椭圆的方程是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$
【解析】
点 $A(-4,0)$ 对椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的双切线方程为\[\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1\right)\left(\dfrac{16}{a^2}-1\right)-\left(\dfrac{-4x}{a^2}-1\right)^2=0,\]即\[\dfrac{16-a^2}{b^2}\cdot y^2=\left(x+4\right)^2,\]根据题意，两条切线的斜率分别为 $\pm\dfrac{\sqrt 3}3$，于是有\[\dfrac{16-a^2}{b^2}=3,\]即\[16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,\]等号当且仅当 $\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)$ 时取得，因此所求椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$．
题目
答案
解析
备注
