数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = \dfrac 1 3$，且对于任意 $n \in \mathbb N^{\ast}, a_{n+1} = a_n^2 + a_n$，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2016} \dfrac 1{a_n +1}$ 的整数部分是 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n(a_n+1)}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_n+1},\]于是\[\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}},\]从而\[\sum_{n=1}^{m}\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{m+1}}.\]因此\[ \sum\limits_{n=1}^{2016} \dfrac 1{a_n +1}=3-\dfrac{1}{a_{2017}},\]又\[a_{n+1}-a_n=a_n^2,\]于是\[a_{2017}\geqslant 2016\cdot a_1^2>1,\]于是所求代数式的整数部分为 $2$．
题目
答案
解析
备注
