数列满足 $a_0=\dfrac 14$，及对于自然数 $n$，$a_{n+1}=a_n^2+a_n$，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{2011}{\dfrac 1{a_n+1}}$ 的整数部分是 ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n(a_n+1)}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_n+1},\]于是\[\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}},\]从而\[\sum_{n=0}^{m}\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac{1}{a_0}-\dfrac{1}{a_{m+1}}.\]因此\[ \sum\limits_{n=0}^{2011} \dfrac 1{a_n +1}=4-\dfrac{1}{a_{2012}},\]又\[a_{n+1}-a_n=a_n^2,\]于是\[a_{2012}\geqslant 2011\cdot a_1^2>1,\]于是所求代数式的整数部分为 $3$．
题目
答案
解析
备注
