已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，且对任意的 $n\in \mathbb N^{\ast}$，$a_{n+1}=a_n^2+a_n$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2017}\dfrac{1}{a_n+1}$ 的整数部分是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_n(a_n+1)}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_n+1},\]于是\[\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}},\]从而\[\sum_{n=1}^{m}\dfrac{1}{a_n+1}=\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_{m+1}}.\]因此\[ \sum\limits_{n=1}^{2017} \dfrac 1{a_n +1}=2-\dfrac{1}{a_{2018}},\]又\[a_{n+1}-a_n=a_n^2,\]于是\[a_{2018}\geqslant 2017\cdot a_1^2>1,\]于是所求代数式的整数部分为 $1$．
题目
答案
解析
备注
