已知数列 $\{ {a_n}\} $ 满足 $3{a_{n + 1}} + {a_n} = 4$（$n \geqslant 1$），且 ${a_1} = 9$，其前 $n$ 项之和为 ${S_n}$，则满足不等式 $|{S_n} - n - 6| < \dfrac{1}{{125}}$ 的最小整数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年复旦大学优秀高中生文化水平选拔测试
【标注】
【答案】
B
【解析】
由 $3{a_{n + 1}} + {a_n} = 4$，得$${a_{n + 1}} = - \dfrac{1}{3}{a_n} + \dfrac{4}{3},$$求得$${a_n} = 1 + 8 \cdot {\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}.$$所以\[\begin{split}{S_n}& = n + 8 \cdot \dfrac{{1 - {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^n}}}{{1 - \left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}}\\& = n + 6 \cdot \left[ {1 - {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^n}} \right].\end{split}\]所以\[\begin{split}\left| {{S_n} - n - 6} \right| = \left| {6 \cdot {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^n}} \right| < \dfrac{1}{{125}}.\end{split}\]即 $ {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^n} < \dfrac{1}{{750}}$，解得 $n \geqslant 7$．
题目
答案
解析
备注
