已知 $a,b,c$ 都是正实数，且 $abc=1$，则 $\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3(b+c)}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac32$
【解析】
由柯西不等式有$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3(b+c)}\cdot\sum_{cyc}a(b+c)\geqslant \left(\sum_{cyc}\dfrac1a\right)^2=\left(\sum_{cyc}ab\right)^2,$$又因$$\sum_{cyc}a(b+c)=\sum_{cyc}\left(\dfrac1c+\dfrac1b\right)=2\sum_{cyc}ab,$$所以$$\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3(b+c)}\geqslant\dfrac12\sum_{cyc}ab\geqslant \dfrac32.$$当 $a=b=c=1$ 时，所求表达式取得最小值 $\dfrac32$．
题目
答案
解析
备注
