点 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$\cos A=\dfrac78$，且 $\overrightarrow {AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则 $x+y$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac45$
【解析】
设 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对的边，则$$a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot \overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0},$$于是$$\overrightarrow{AI}=\dfrac{b\cdot\overrightarrow{AB}+c\cdot\overrightarrow{AC}}{a+b+c},$$设 $t=b+c$，且不妨令 $a=1$，则$$x+y=\dfrac{b+c}{a+b+c}=1-\dfrac1{1+t},$$又由余弦定理有$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$即有$$\begin{split} 1&=(b+c)^2-2bc(1+\cos A)\\
&\geqslant t^2-\dfrac{15}{16}t^2\\
&=\dfrac{t^2}{16}.\end{split}$$所以$$t\leqslant 4.$$当 $b=c$ 时，$t$ 取得最大值 $4$，此时 $x+y$ 亦取得最大值 $\dfrac45$．
&\geqslant t^2-\dfrac{15}{16}t^2\\
&=\dfrac{t^2}{16}.\end{split}$$所以$$t\leqslant 4.$$当 $b=c$ 时，$t$ 取得最大值 $4$，此时 $x+y$ 亦取得最大值 $\dfrac45$．
题目
答案
解析
备注
