设有红，黑，白三种颜色的球各 $10$ 个，现将它们全部放入甲，乙两个袋中，要求每个袋中三种颜色都有，且甲乙两袋中三种颜色的球数之积相等，则共有 种放法．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$25$
【解析】
设甲袋中的红，黑，白三色球数分别为 $x,y,z$，则有 $1\leqslant x,y,z\leqslant 9$，且$$xyz=(10-x)(10-y)(10-z),$$即$$xyz=500-50(x+y+z)+5(xy+yz+xz),$$于是 $5\mid xyz$．因此 $x,y,z$ 中必有一个取 $5$，不妨设 $x=5$，则$$y+z=10,$$此时 $y=1,2,3,\cdots,9$（相应地 $z=9,8,7,\cdots,1$），共 $9$ 种放法．同理可得 $y=5$ 或 $z=5$ 时，也各有 $9$ 种放法，但有 $x=y=z$ 时两种放法重复，因此可得共有 $9\cdot 3-2=25$ 种放法．
题目
答案
解析
备注
