已知数列 $\{a_n\}$ 共有 $9$ 项，其中 $a_1=a_9=1$，且对每个 $i\in\{1,2,3,\cdots,8\}$，均有 $\dfrac{a_{i+1}}{a_i}\in\left\{2,1,-\dfrac12\right\}$，则这样的数列个数为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$491$
【解析】
根据题意设自然数 $x,y,z$$$a_9=2^x\cdot1^y\cdot \left(-\dfrac12\right)^z\cdot a_1,$$其中$$x+y+z=8.$$又 $a_1=a_9=1$，所以$$2^x\cdot1^y\cdot \left(-\dfrac12\right)^z=1,$$即$$(-1)^z\cdot 2^{x-z}=1,$$因此必有$$\left(x=z\right)\land\left(2\mid z\right)$$所以$$x=z=0,2,4.$$当 $x=z=0$ 时，$y=8$，此时符合题意的数列仅有 $1$ 个；
当 $x=z=2$ 时，$y=4$，此时符合题意的数列有 $\rm C_8^2\rm C_6^2\rm C_4^4=420$；
当 $x=z=4$ 时，$y=0$，此时符合题意的数列有 $\rm C_8^4\rm C_4^4=70$．
综上，符合题意的数列共计 $491$ 个．
当 $x=z=2$ 时，$y=4$，此时符合题意的数列有 $\rm C_8^2\rm C_6^2\rm C_4^4=420$；
当 $x=z=4$ 时，$y=0$，此时符合题意的数列有 $\rm C_8^4\rm C_4^4=70$．
综上，符合题意的数列共计 $491$ 个．
题目
答案
解析
备注
