若 $x=\dfrac{\pi}{24}$，则 $\dfrac{\sin x}{\cos 4x\cos 3x}+\dfrac{\sin x}{\cos 3x \cos2x}+\dfrac{\sin x}{\cos 2x\cos x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3}{3}$
【解析】
由于$$\sin x=\sin(4x-3x)=\sin 4x\cos3x-\sin3x\cos 4x,$$所以$$\dfrac{\sin x}{\cos 4x\cos 3x}=\tan4x-\tan3x,$$同理有$$\begin{cases} \dfrac{\sin x}{\cos 3x\cos 2x}=\tan3x-\tan2x,\\
\dfrac{\sin x}{\cos 2x\cos x}=\tan 2x-\tan x,\\
\tan x=\tan x,\end{cases}$$累加以上四式可得所求表达式等于 $\tan 4x=\dfrac{\sqrt3}{3}$．
\dfrac{\sin x}{\cos 2x\cos x}=\tan 2x-\tan x,\\
\tan x=\tan x,\end{cases}$$累加以上四式可得所求表达式等于 $\tan 4x=\dfrac{\sqrt3}{3}$．
题目
答案
解析
备注
